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商品包装问题的模型建立

2021-08-18 来源:晋江市机械信息网

商品包装问题的模型建立

一、问题的背景即提出

我们在日常生活中购物时,常常会发现,大包装的商品要比小包装的商品来得便宜。比如,在购买同一品牌的饼干时,一包净含量(W)为150g的康师傅“3+2”饼干售价为3.5块钱,而一包内容完全相同只是净含量(W)增为600g的“3+2”却只需要10.2块钱,也就是说,平均每150g的“3+2”只要2.55块钱。

这里,前面所提的150g的“3+2”属于小包装,后面讲的600g的“3+2”则属于大包装。同样是150g的“3+2”饼干,小型单独包装的需3.5块钱,而为什么从大包装中算下来却只要2.55块钱呢?这当中有什么奥妙吗?本文主旨正是在于通过建立相关的数学模型来为大家解释这一问题。

二、模型相关要素的假设

1.设商品的销售单位价格为p,销售量(w)为动态的变化量x(g),则销售收入I=px。 (1)

2.设商品的生产成本的单位价格为c,则生产成本C=cx。 (2)

3.设商品的运输成本的单位价格为t,则运输成本T=tx。 (3)

4.设商品的包装材料的单位面积的价格为s,且单位价格为p的商品需要花费的包装材的表面积为m(cm2),则包装成本S=sm。 (4)

三、模型的建立与分析

在市场经济条件下,商品的价格(p)主要是由商品的生产成本C、运输成本T、包装成本S等决定的。这些成本中,有的与商品的包装材料的表面积(M)成正比关系,有的与商品的重量(w)成正比关系,有的则与其无关。下面作具体分析。

首先,分析商品的价格(p)与商品的运输成本T之间的关系。

对商品的运输成本T而言,因为一辆卡车的载重量(W)是固定的,如果每次运输商品时,都使商品的总重量W总达到卡车的最大载重,只要商品的运输成本的单位价格(t)不变,则在这些运输的商品中进行何种形式的包装,不管是大包装还是小包装,都是与商品的销售价格(p)无关的,也就是说,商品的运输成本T在运输单价t不变的情况下,只与商品的流通总量成正比关系,而不与商品的大小包装即其销售单价(p)有关。

其次,分析商品的价格(p)与商品的包装成本S之间的关系。

众所周知,包装材料的表面积(M)越大,包装所需的成本S就越高,它们之间成正比关系。但是在具体的商品包装过程中,由于存在一定的“边际包装成本”(S边),即没有真正用来包装到商品的那部分材料的成本。例如,如果一件商品的表面积M=100cm2,那么,用来包装它的材料的表面积M´肯定是大于100cm2的,即M´>M,这里就称(M´-M)为边际包装材料的表面积值。需要说明的是,商品的包装成本S便不完全与包装材料的表面积(M)成正比关系,因为有“边际包装才料”的存在,边际包装材料的表面积我们可以将其定为一个固定值(M边),与商品的重量无关。而与包装有关的部分在下面举例说明。

假设商品A为正方体,其每个面的表面积(m)=10cm2(A=100g),边际包装材料的表面积M边=10cm2,则包装成本的总面积M´=70cm2;现在,假使用两件A商品包装在一起作为商品A´(A´=200g)来销售,计算A´包装材料的表面积M,不难知道,边际包装材料的表面积M边=10cm2是不变的,但对两件A商品来说,至少可以省去两个表面积(m=10cm2)的包装材料的成本。即A´的总的包装材料的表面积M´=110cm2。相对于两个小包装商品A而言,商品A´的成本中就省了20cm2的包装材料成本。

所以说,很显然,大包装的商品要比小包装的商品来得便宜。但是,包装大到何种程度不宜再大了呢?换言之,包装大到何种程度,价格不能再小了?这与商品的生产成本C有很大关系,下面就谈谈它们之间的关系。

商家之所以会定大包装商品的价格比小包装的低,并不是商家不想多赚钱,相反,这正是他们追求“最佳经济效益”的缘故。其拟订的价格正是可以使其获得最佳经济效益的临界价格(p*)。不过,为什么商品在从小包装到大包装的转化中,其价格会渐渐小了呢?再者,这个渐渐变化的价格(p*)何时才会变到临界价而不能再小了呢?理论上讲,这当中会存在某个函数关系,而且是关于销售价格p的降函数关系。也就是说,销售的商品的重量(w)是关于商品价格(p)的降函数。

记为:x=f(p),(x商品重量的变化量)。 (5)

这样,在生产成本价c为常数的情况下,可以得到有关利润的函数关系式,即利润等于销售收入I减去生产成本C、运输成本T及相应的包装成本S。因此,

利润U(P)==I(P)-C(P)-T(P)-S(P) (6)

这里,因为先前已经考虑过运输成本T和包装成本S了,为了方便讨论,

设U*(P)=I(P)-T(P)-S(P)。 (7)

则可以近似地把(6)式转化为(7)式来讨论。即主要分析利润U*(P)与生产成本C(P)之间的关系:U*(P)=I(P)-C(P)    (8)

U*(P)=I(P)-C(P) 由(5)式可知,

U*(P)=(P-C)x

=(P-C)f(p) (9)

显然,使利润U*(P)达到最大值的最优价格p*可以由方程du/dc=0解得。

即,当p=p*时,有:di/dp|P=P*=dc/dp|P=P* 。 (10)

注:等式左边表示价格变动一个单位时,收入的改变量。

等式右边表示价格变动一个单位时,成本的改变量。

流通过程中,由前面已经设成本价C为常数,x=f(p)为降函数,f为需求函数,则

设f(p)=a-bp (a,b>0) (11)

此时,U*(P)=(p-c)(a-bp)

=(a+bc)p-bp2-ac (12)

由du/dp=0,可解得:p*=a+bc/2b

=c/2+a/2b (13)

注:a可以解释为“绝对”需求量。

b=|dx/dp|,表示价格下降一个单位时,销售增加的量。

为什么价格p到了临界价格p*时,商品的包装不宜再大了呢?其实,这不难理解,

由(11)式可知f(P)=a-bp (a,b>0)可知:

p=a/b-y/b

则,p´=-1/b

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